Теория оптимизации и численные методы в1

Вариант №1

Этап №1. Тема: Методы поиска безусловного экстремума функции многих переменных

Задание:

а) аналитически отыскать экстремум функции двух переменных (с использованием необходимых и достаточных условий безусловного экстремума);

Из начальной точки   сделать в направлении экстремума:

б) три итерации методом градиентного спуска;

в) две итерации  методом наискорейшего градиентного спуска;

г) две итерации  методом Гаусса-Зейделя;

д) две итерации  методом сопряженных градиентов;

е) одну итерацию  методом Ньютона.

f (X) = 3x2 + 4y2 - 42x + 18y + 25  extr

Этап №2. Тема: Методы поиска условного экстремума функции многих переменных при ограничениях типа равенства

Задание:

а) найти решение задачи графически;

б) найти решение задачи с использованием необходимых и достаточных условий условного экстремума;

в) найти решение задачи методом штрафной функции.

f(X) = 4x12 + x22 - 8x1 + 16x2  extr

при ограничении: -x1 + 4x2 = 6

Этап №3. Тема: Методы решения задачи линейного программирования

Задание:

а) найти максимум и минимум в задаче графически.

б) найти максимум и минимум в задаче симплекс-методом

Этап №4. Тема: Методы решения транспортных задач

Задание:

Для транспортной задачи, заданной матрицей перевозок:

а) найти начальный план перевозок;

б) найти решение задачи методом потенциалов.

Пункты  

Запасы

4          5          1          40

9           5          2          70

Потребности 10 30 70 110

Этап №5. Тема: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Задание:

а) найти решение систему методом простых итераций (точность счёта  );

б) найти решение системы методом Зейделя (точность счёта  ).

    x1 -  x2 +  x3 - 4x4 = -5

   2x1 +  x2 - 5x3 +  x4 =  6

   8x1 -  x2 -  x3 + 2x4 =  3

      x1 + 6x2 - 2x3 - 2x4 =  0

Этап №6. Тема: Методы решения алгебраических уравнений

Задание:

а) отделить корни алгебраического уравнения;

б) уточнить  наименьший (левый) корень  уравнения методом Ньютона на отрезке   (точность счёта  );

в) уточнить  наименьший (левый) корень  уравнения методом простых итераций на отрезке   (точность счёта  );

г) уточнить  наименьший (левый) корень  уравнения методом половинного деления на отрезке   (точность счёта  ).

x3 - 7x2 + 14x - 8 = 0

Этап №7. Тема: Интерполяция и аппроксимация сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) построить интерполяционный многочлен Лагранжа;

б) построить интерполяционный многочлен Ньютона;

в) аппроксимировать функцию многочленами 1-го и 2-го порядков методом наименьших квадратов;

г) сделать общий чертеж.

x 1 2 3 4

f(x) 11 6 11 14

Этап №8. Тема: Дифференцирование и интегрирование сеточных функций

Задание:

Для сеточной функции, определенной таблицей:

а) найти производные первого порядка, используя все двухточечные шаблоны во внутренних точках интервала  ;

б) найти производные первого порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала  ;

в) найти производные второго порядка, используя все трехточечные шаблоны во внутренних точках интервала  ;

г) вычислить интеграл, используя формулу прямоугольников;

д) вычислить интеграл, используя модифицированную формулу прямоугольников;

е) вычислить интеграл, используя формулу трапеций.

x 1 2 3 4

f(x) 11 6 11 14

Этап №9. Тема: Численные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:

Задание:  

Найти решение задачи Коши:

а) аналитически;

б) явным  методом Эйлера на отрезке  . Число разбиений отрезка выбрать  . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

в) методом предсказания и коррекции на отрезке  . Число разбиений отрезка выбрать  . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

г) неявным методом Эйлера на отрезке  . Число разбиений отрезка выбрать  . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже;

д) методом трапеций на отрезке  . Число разбиений отрезка выбрать  . Построить графики аналитического и численного решений на одном чертеже.

(x + 1)  + y = 1;  y(0) = 0