Линейная алгебра. 7 тем.WORD.

Тема 1. Матрицы и действия над ними

Задание 1.1.

Вычислить  

Задание 1.2.

Даны матрицы  ,  .

Найти:

а)  ;

б)  .

Задание 1.3.

Даны матрицы  ,  .

Найти:

а)  ;

б)  .

Задание 1.4.

Вычислить произведения матриц:

а)  ;  б)  ; в)  ; г)  .

Задание 1.5.

Даны матрицы  ,  .

Вычислить произведения:

а)  ;

б)  ;

в)  .

Задание 1.6.

Вычислить произведения матриц:

а)  ;

б)  ;

в)  .

Задание 1.7.

Даны матрицы  ,  .

Найти  .

Задание 1.8.

Вычислить  , если  ,  .

Тема 2. Определители

Задание 2.1.

Вычислить определители второго порядка:

а)  ;  б)  ; в)  .

Задание 2.2.

Вычислить определители третьего порядка:

а)  ;  б)  ; в)  

Задание 2.3.

Не вычисляя определителей, указать, почему они равны нулю:

а)  ;   б)  ;  в)  .

Задание 2.4.

Вычислить определители   и   произведений матриц  ,  , применяя свойство определителя произведения. Сделать проверку, вычисляя сначала произведения   и  , а затем определители   и  .

Задание 2.5.

Вычислить определители при помощи элементарных преобразований:

а)  ;  б)  .

Тема 3. Ранг матрицы. Базисный минор.

Задание 3.1.

По определению найти базисный минор и вычислить ранг матрицы:

а)  ; б)  ;  в)  ;

г)  ; д)  .

Задание 3.2.

Вычислить ранги матриц, приводя их к ступенчатому виду (методом Гаусса):

а)  ; б)  ;  в)  .

Задание 3.3.

Вычислить ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

а)  ; б)  .

Задание 3.4.

При каждом действительном значении параметра вычислить ранг матрицы:

а)  ; б)  .

Задание 3.5.

В данной системе столбцов найти все максимальные линейно независимые подсистемы:

а)  ,  ,  .

б)  ,  ,  ,  .

Тема 4. Обратная матрица.

Задание 4.1.

Найти матрицы, обратные к данным:

а)  ;  б)  ; в)  .

Задание 4.2.

Найти матрицы, обратные к данным:

а)  ;  б)  ; в)  ;

г)  ;  д)  .

Задание 4.3.

Доказать, что матрица   ортогональная, т.е.  :  .

Задание 4.4.

Решить матричные уравнения:

а)  ;

б)  ;

в)  , где  ,  ,  ;

г)  , где  ,  ,  ;

д)  ;

е)  .

Тема 5. Системы линейных уравнений.

Задание 5.1.

Решить системы уравнений по правилу Крамера:

а)    б)    в)  

Задание 5.2.

Решить системы уравнений методом Гаусса:

а)    б)    в)  

г)   д)   е)  

Задание 5.3.

Найти фундаментальную систему решений и записать структуру общего решения:

а)   б)   в)  

Задание 5.4.

Найти фундаментальную матрицу системы уравнений:

а)   б)   в)  

Тема 6. Собственные векторы и собственные значения.

Задание 6.1.

Найти собственные значения и соответствующие собственные векторы матриц:

а)    б)    в)  

г)   д)   е)  

Тема 7. Квадратичные формы.

Задание 7.1.

Записать квадратичные формы в матричном виде, найти их ранги и дискриминанты:

а)    б)    

в)     г)  

д)  

Задание 7.2.

Привести квадратичную форму к каноническому виду:

а)    

б)    

Задание 7.3.

Используя критерий Сильвестра, выяснить знакоопределенность квадратичной формы

а)    

б)